分散の加法性について

統計理論

分散の加法性とは、2つの確率変数XとYがあって、XとYが独立で正規分布するとき、 XとYを合わせたものの分散は、X、Yそれぞれの分散を足し合わせたものに等しいというものです。

式で表すと、

V(X±Y）=　V(X)＋V(Y)

定数を含む場合の一般式は、

V(a1X1+a2X2+・・・+anXn）=　(a1)^2・V(X1)+(a2)^2・V(X2)+・・・+(an)^2・V(Xn)

XとYが非独立だと、

V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)

なのですが、独立だと、

相関係数　R(X,Y) = Cov(X,Y)/(√V(X)・√V(Y))

で、共分散Cov(X,Y)がゼロだから相関係数もゼロ。

これより、加法性の式が成り立ちます。

よく使う標準偏差σは、

σ = √V

で、計算できるので、工程能力の把握や管理基準の設定に重宝します。

実用例

古くからから誤差論で引用されていました。

測定ばらつきは、誤差因子(en)の加法性から見積もられていました。

E^2 = e1^2+e2^2+・・・+en^2

メジャーな測定誤差因子を見出して、改善や管理をすることができます。

enには、キャリブレーションばらつき、機差（複数台の場合）、読み取り誤差（アナログ計測の場合）、温湿度環境影響（リーディングドリフト）などが考えられます。

当社の身近なところでは、静電容量の例があります。

平行平板型のコンデンサをモデルにすると、

静電容量: C(pF)

電極寸法：L(mm)、W(mm)

電極間ギャップ（セラミック厚み）：t(mm)

誘電率：K

として、

C = 8.854・L・W・K/ (1000・t)

ここで、L、W、K、t　それぞれ生じる工程が別なので独立パラメータです。

V(C) = (8.854/1000)^2・（V(L)+ V(W)+ V(K)+ V(1/t)）

となり、L、W、K、tのメジャーなばらつき要因を調べることで、V(C)のばらつきを改善することが可能になります。

また、それぞれのパラメータをSPC管理することで、静電容量のばらつきを管理することもできます。

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